Le problème se situe dans la configuration de votre server dont je ne connais pas le type.
Comme vous parlez d'alias, il semble que vous configurez directement le fichier httpd.conf
Il faut avoir des DocumentRoot specifique pour chaque nom de domaine de telle manière d'avoir des répertoires cache spécifique.
Si vous avez deux noms de domaine avec le même document root alors vous partagez le même répertoire cache.
Dans votre explication, il y a un point à éclarcir.
Vous dites que
www.site_a.com
secure.mondomaine.com/site_a
pointent tout deux dans le répertoire
/mon/chemin/Joomla/multisites/site_a
Est-ce que cela veut dire que vous avez crée un lien symbolique entre /site_a et /multisites/site_a ?
Ou est-ce que vous avez déployé Site A dans le répertoire /site_a ?
Mettez un fichier "hello.php" pour voir le chemin qui s'affiche et connaitre le document root qui doit être spécifique pour chaque site de telle manière à avoir un répertoire cache spécifique.